Площадь пятиугольника ABOCD равна 48 см2. Найдите площадь и периметр квадрата ABCD.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку пятиугольник ABOCD вписан в квадрат ABCD, то сторона квадрата ABCD равна стороне пятиугольника, соединяющей точки A и B, то есть AB.

Площадь пятиугольника равна сумме площадей треугольника AOB и треугольника OCD:
S_ABCD = S_AOB + S_OCD

S_AOB = 1/2 AB h, где h - высота проведенная из вершины O на отрезок AB
S_OCD = 1/2 CD h, где CD - основание треугольника OCD равное AB

Площадь треугольника равна:
S = 1/2 a b * sin(C), где a и b - стороны треугольника, C - угол между ними

Таким образом, площадь пятиугольника:
48 = 1/2 AB OD + 1/2 AB OC * sin(36°)

Зная, что OC = OD, то можно записать следущее уравнение:
48 = 1/2 AB OD + 1/2 AB OD sin(36°)
48 = 1/2 AB OD (1 + sin(36°))
48 = 1/2 AB OD (1 + (√5 - 1)/4)
96 = AB OD (√5 + 3) / 4
96 4 = AB OD (√5 + 3)
384 = AB OD (√5 + 3)
384 = AB AB (√5 + 3)
384 = AB^2 * (√5 + 3)

AB = √(384 / (√5 + 3))
AB ≈ 8.511

Теперь, найдем площадь и периметр квадрата ABCD:
S_ABCD = AB AB ≈ 8.511 8.511 ≈ 72.45 см^2
P_ABCD = 4 AB ≈ 4 8.511 ≈ 34.04 см

Итак, площадь квадрата ABCD составляет примерно 72.45 см^2, а периметр квадрата равен примерно 34.04 см.