1) Найдите два трехзначных числа, сумма которых кратна 504,а частное кратно 6. В ответе укажите наибольшее из чисел.2)Найдите остаток от деления 6 (в степени 592) на 11. 3) Найдите последнюю цифру числа 9( в степени 2012).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Для того, чтобы найти два трехзначных числа с такими условиями, можно представить сумму как (504 = 6 \cdot 84) и частное как 6. Мы получим два числа: 336 и 168. Наибольшее из них - 336.

2) Рассмотрим остатки от деления (6^n) на 11:
(6^1 \equiv 6\ (\text{mod}\ 11))
(6^2 \equiv 3\ (\text{mod}\ 11))
(6^3 \equiv 7\ (\text{mod}\ 11))
(6^4 \equiv 5\ (\text{mod}\ 11))
(6^5 \equiv 9\ (\text{mod}\ 11))
(6^6 \equiv 4\ (\text{mod}\ 11))
(6^7 \equiv 8\ (\text{mod}\ 11))
(6^8 \equiv 10\ (\text{mod}\ 11))
(6^9 \equiv 2\ (\text{mod}\ 11))
(6^{10} \equiv 1\ (\text{mod}\ 11))

Таким образом, остаток от деления (6^{592}) на 11 равен остатку от деления 592 на 10, т.е. остаток равен 2.

3) Цифры в исходном числе 9 возводятся в степени с периодом 2:
(9^1 \equiv 9\ (\text{mod}\ 10))
(9^2 \equiv 1\ (\text{mod}\ 10))
(9^3 \equiv 9\ (\text{mod}\ 10))
(9^4 \equiv 1\ (\text{mod}\ 10))

Таким образом, (9^{2012} = \left(9^2\right)^{1006} \equiv 1\ (\text{mod}\ 10)), следовательно, последняя цифра числа (9^{2012}) равна 1.