Докажите,что при любом натуральном значении n значение выражения равно квадрату некоторого натурального числа: 1) n(n+2)(n+4)(n+6)+16 2) n(n+1)(n+2)(n+3)+1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Для начала раскроем скобки:

n(n+2)(n+4)(n+6) + 16 = n(n^3 + 6n^2 + 8n + 24) + 16 = n^4 + 6n^3 + 8n^2 + 24n + 16

Теперь заметим, что значение этого выражения есть квадрат некоторого натурального числа. Докажем это разбором случаев.

Пусть n - четное число. Тогда n = 2m, где m - натуральное число.

Подставим это в выражение:

(2m)^4 + 6(2m)^3 + 8(2m)^2 + 24(2m) + 16 = 16m^4 + 48m^3 + 32m^2 + 48m + 16 = 16(m^4 + 3m^3 + 2m^2 + 3m + 1)

Теперь можно заметить, что 16(m^4 + 3m^3 + 2m^2 + 3m + 1) - это квадрат числа 4(m^2 + 1), которое является натуральным числом.

Пусть теперь n - нечетное число. Тогда n = 2m + 1, где m - натуральное число.

Подставим это в выражение:

(2m+1)^4 + 6(2m+1)^3 + 8(2m+1)^2 + 24(2m+1) + 16 = (16m^4 + 32m^3 + 24m^2 + 8m + 1) + 6(8m^3 + 24m^2 + 24m + 8) + 8(4m^2 + 4m + 1) + 24(2m + 1) + 16 = 16m^4 + 48m^3 + 48m^2 + 16m + 1 + 48m^3 + 144m^2 + 144m + 48 + 32m^2 + 32m + 8 + 48m + 24 + 16 = 16(m^4 + 3m^3 + 3m^2 + m) + 1 + 48(m^3 + 3m^2 + 3m + 1) + 32(m^2 + m + 1) + 48(2m + 1) + 16

Мы видим, что 16(m^4 + 3m^3 + 3m^2 + m) + 1 + 48(m^3 + 3m^2 + 3m + 1) + 32(m^2 + m + 1) + 48(2m + 1) + 16 = (4m^2 + 2m + 1)^2, которое является квадратом некоторого натурального числа.

Таким образом, для всех натуральных n значение выражения n(n+2)(n+4)(n+6) + 16 равно квадрату некоторого натурального числа.

2) Рассмотрим выражение n(n+1)(n+2)(n+3) + 1:

n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 = n(n^3 + 6n^2 + 11n + 6) + 1 = n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n + 1

Теперь заметим, что это выражение также можно представить в виде квадрата некоторого натурального числа. Докажем это по индукции:

База индукции: при n = 1, выражение принимает вид 1 + 1 = 2, что равно квадрату числа 2.

Предположение индукции: пусть для n = k выражение равно квадрату некоторого натурального числа.

Шаг индукции: докажем для n = k + 1:

(k+1)^4 + 6(k+1)^3 + 11(k+1)^2 + 6(k+1) + 1 = (k^4 + 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1) + 6(k^3 + 3k^2 + 3k + 1) + 11(k^2 + 2k + 1) + 6k + 6 + 1 = (k^2 + 3k + 2 + 1)^2

Таким образом, для всех натуральных n значение выражения n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 является квадратом некоторого натурального числа.