Точки A, B, C, D – вершины тетраэдра. Найти h – длину высоты тетраэдра,
опущенной из указанной вершины.
A (0, 1, 2), B (-1, 1, 1), C (1, 0, 1), D (-3, 3, 4), (из D);

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения длины высоты тетраэдра, опущенной из вершины D, нам необходимо сначала найти площадь треугольника BCD, образованного вершинами B, C и D, затем найти длину его основания, и, наконец, применить формулу высоты треугольника для определения высоты тетраэдра.

Найдем векторы, образующие стороны треугольника BCD:
Вектор BD = D - B = (-3 - (-1), 3 - 1, 4 - 1) = (-2, 2, 3)
Вектор DC = C - D = (1 - (-3), 0 - 3, 1 - 4) = (4, -3, -3)

Найдем векторное произведение векторов BD и DC для нахождения площади треугольника BCD:
S = 1/2 |BD x DC| = 1/2 |(-2, 2, 3) x (4, -3, -3)| = 1/2 |(15, 18, -14)| = 1/2 sqrt(15^2 + 18^2 + (-14)^2) = 1/2 sqrt(225 + 324 + 196) = 1/2 sqrt(745) = sqrt(745)/2

Теперь найдем длину основания треугольника BCD (стороны BC):
|BC| = |C - B| = sqrt((1 - (-1))^2 + (0 - 1)^2 + (1 - 1)^2) = sqrt(4 + 1) = sqrt(5)

Наконец, найдем высоту треугольника BCD, опущенную из вершины D:
h = 2S / |BC| = 2 (sqrt(745)/2) / sqrt(5) = sqrt(745) / sqrt(5) = sqrt(149)

Таким образом, длина высоты тетраэдра, опущенной из вершины D, равна sqrt(149).