Найти неопределенный интеграл sin^2 x cos x dx

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы найти неопределенный интеграл ∫sin^2(x)cos(x) dx, мы можем использовать метод интегрирования по частям.

Для этого мы выберем u = sin^2(x) и dv = cos(x) dx, тогда du = 2sin(x)cos(x) dx и v = sin(x).

Используя формулу интегрирования по частям ∫u dv = uv - ∫v du, получим:

∫sin^2(x)cos(x) dx = sin^2(x)sin(x) - ∫sin(x)2sin(x)cos(x) dx.

Упростиv эту формулу, получим:

∫sin^2(x)cos(x) dx = sin^3(x) - 2∫sin^2(x)cos^2(x) dx.

Теперь мы можем воспользоваться идентичностью sin^2(x) + cos^2(x) = 1, чтобы заменить cos^2(x) на 1 - sin^2(x), получим:

∫sin^2(x)cos(x) dx = sin^3(x) - 2∫sin^2(x)(1 - sin^2(x)) dx.

Раскрыв скобки, получим:

∫sin^2(x)cos(x) dx = sin^3(x) - 2∫sin^2(x) dx + 2∫sin^4(x) dx.

Теперь первый интеграл просто находитн с помощью правила подстановки, ведь ∫sin^2(x) dx = -1/2 cos(2x) + C.

А для ∫sin^4(x) dx можно использовать формулу двойного угла, например, можно разрешить её с помощью тождества.