А) Решить уравнение sin x+(cos x/2-sin x/2)(cos x/2+sin x/2)=0 Б) укажите корни этого уравнения принадлежащие промежутку (П;5П/2)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

А) Решение уравнения:

sin x + (cos x/2 - sin x/2)(cos x/2 + sin x/2) = 0
sin x + (cos^2x/4 - sin^2x/4) = 0
sin x + (cos^2x - sin^2x)/4 = 0
sin x + cos^2x/4 - sin^2x/4 = 0
4sin x + cos^2x - sin^2x = 0
4sin x + cos^2x - (1-cos^2x) = 0
4sin x + cos^2x - 1 + cos^2x = 0
2cos^2x + 4sin x - 1 = 0

Теперь найдем корни уравнения на промежутке (П;5П/2):

2cos^2x + 4sin x - 1 = 0

Подставим sin x = 2tan(x/2)/(1+tan^2(x/2)) и cos x = (1-tan^2(x/2))/(1+tan^2(x/2))

2[(1-tan^2(x/2))^2/(1+tan^2(x/2))^2] + 4[2tan(x/2)/(1+tan^2(x/2))] - 1 = 0
2(1 - 2tan^2(x/2) + tan^4(x/2))/(1+tan^2(x/2))^2 + 8tan(x/2)/(1+tan^2(x/2)) - 1 = 0
2tan^4(x/2) - 4tan^2(x/2) + 1 + 8tan(x/2) - 1 - (1+tan^2(x/2))^2 = 0
2tan^4(x/2) - 4tan^2(x/2) - tan^2(x/2) -3 = 0
2tan^4(x/2) - 5tan^2(x/2) - 3 = 0

Теперь используем замену t = tan(x/2):

2t^4 - 5t^2 - 3 = 0
2t^4 - 6t^2 + t^2 - 3 = 0
2t^2( t - 3) + (t - 3) = 0
(2t^2 + 1)(t - 3) = 0

t = sqrt(-1/2) или t = 3

Из первого уравнения нет корней на промежутке (П;5П/2)
Таким образом, корень уравнения на промежутке (П;5П/2) равен arctan(3) + Пk, где k - произвольное целое число.