Пусть Р(А)=1/4, Р(В|A)=1/2 и Р(А|B)=1/3. Найти Р(А∩В), Р(В), Р(А∪В).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Используя формулу условной вероятности, найдем вероятность пересечения событий A и B:

P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
1/3 = P(A∩B) / P(B)
P(A∩B) = P(A|B) P(B)
P(A∩B) = (1/2) P(B)
P(A∩B) = 1/2 * P(B)

Также известно, что P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

Теперь составим уравнения, используя данные из условия:

P(A) = 1/4
P(B|A) = 1/2
P(A|B) = 1/3

P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
1/3 = P(A∩B) / P(B)
P(A∩B) = (1/3)P(B)

P(B|A) = P(B∩A) / P(A)
1/2 = P(A∩B) / P(A)
P(A∩B) = (1/2)P(A)

Составляем уравнение:

(1/3)P(B) = (1/2)(1/4)
1/3P(B) = 1/8
P(B) = 1/8 * 3
P(B) = 3/8

Теперь найдем P(A∩B):

P(A∩B) = (1/2) P(B)
P(A∩B) = (1/2) (3/8)
P(A∩B) = 3/16

Теперь найдем P(A∪B):

P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
P(A∪B) = 1/4 + 3/8 - 3/16
P(A∪B) = 2/8 + 3/8 - 3/16
P(A∪B) = 5/8 - 3/16
P(A∪B) = 10/16 - 3/16
P(A∪B) = 7/16

Итак, вероятность события A и B равна 3/16, вероятность события B равна 3/8, а вероятность объединения событий A и B равна 7/16.