Тригонометрический уравнения 2 степени Cos^2x+cos^2 2x=cos^2 3x+cos^2 4x

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данного уравнения воспользуемся известной тригонометрической формулой:
(\cos^2 a = \frac{1 + \cos 2a}{2})

Заменим в уравнении данное равенство:
(\frac{1 + \cos 2x}{2} + \frac{1 + \cos 4x}{2} = \frac{1 + \cos 6x}{2} + \frac{1 + \cos 8x}{2})

Упростим выражение:
(\frac{2 + \cos 2x + 2 + \cos 4x}{2} = \frac{2 + \cos 6x + 2 + \cos 8x}{2})
(\frac{4 + \cos 2x + \cos 4x}{2} = \frac{4 + \cos 6x + \cos 8x}{2})

Перенесем все члены в одну часть уравнения:
(\cos 2x + \cos 4x - \cos 6x - \cos 8x = 0)

Используем формулу разности синусов:
(\cos a + \cos b - \cos c - \cos d = 2 \sin \left( \frac{a + b}{2} \right) \sin \left( \frac{a - b}{2} \right) - 2 \sin \left( \frac{c + d}{2} \right) \sin \left( \frac{c - d}{2} \right))

Подставим значения:
(2 \sin 3x \sin x - 2 \sin 7x \sin x = 0)
(2 \sin x(3 \sin x - 7 \sin x) = 0)
(\sin x(3 - 7) = 0)
(\sin x(-4) = 0)

Таким образом, получаем решение уравнения:
(\sin x = 0)

Ответ: (x = 0 + k\pi), где (k) - целое число.