Для решения данного уравнения воспользуемся известной тригонометрической формулой(\cos^2 a = \frac{1 + \cos 2a}{2})
Заменим в уравнении данное равенство(\frac{1 + \cos 2x}{2} + \frac{1 + \cos 4x}{2} = \frac{1 + \cos 6x}{2} + \frac{1 + \cos 8x}{2})
Упростим выражение(\frac{2 + \cos 2x + 2 + \cos 4x}{2} = \frac{2 + \cos 6x + 2 + \cos 8x}{2}(\frac{4 + \cos 2x + \cos 4x}{2} = \frac{4 + \cos 6x + \cos 8x}{2})
Перенесем все члены в одну часть уравнения(\cos 2x + \cos 4x - \cos 6x - \cos 8x = 0)
Используем формулу разности синусов(\cos a + \cos b - \cos c - \cos d = 2 \sin \left( \frac{a + b}{2} \right) \sin \left( \frac{a - b}{2} \right) - 2 \sin \left( \frac{c + d}{2} \right) \sin \left( \frac{c - d}{2} \right))
Подставим значения(2 \sin 3x \sin x - 2 \sin 7x \sin x = 0(2 \sin x(3 \sin x - 7 \sin x) = 0(\sin x(3 - 7) = 0(\sin x(-4) = 0)
Таким образом, получаем решение уравнения(\sin x = 0)
Ответ: (x = 0 + k\pi), где (k) - целое число.
Для решения данного уравнения воспользуемся известной тригонометрической формулой
(\cos^2 a = \frac{1 + \cos 2a}{2})
Заменим в уравнении данное равенство
(\frac{1 + \cos 2x}{2} + \frac{1 + \cos 4x}{2} = \frac{1 + \cos 6x}{2} + \frac{1 + \cos 8x}{2})
Упростим выражение
(\frac{2 + \cos 2x + 2 + \cos 4x}{2} = \frac{2 + \cos 6x + 2 + \cos 8x}{2}
(\frac{4 + \cos 2x + \cos 4x}{2} = \frac{4 + \cos 6x + \cos 8x}{2})
Перенесем все члены в одну часть уравнения
(\cos 2x + \cos 4x - \cos 6x - \cos 8x = 0)
Используем формулу разности синусов
(\cos a + \cos b - \cos c - \cos d = 2 \sin \left( \frac{a + b}{2} \right) \sin \left( \frac{a - b}{2} \right) - 2 \sin \left( \frac{c + d}{2} \right) \sin \left( \frac{c - d}{2} \right))
Подставим значения
(2 \sin 3x \sin x - 2 \sin 7x \sin x = 0
(2 \sin x(3 \sin x - 7 \sin x) = 0
(\sin x(3 - 7) = 0
(\sin x(-4) = 0)
Таким образом, получаем решение уравнения
(\sin x = 0)
Ответ: (x = 0 + k\pi), где (k) - целое число.