Почему в вписанной в треугольник окружности , высота равна 3 радиасам?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть треугольник ABC имеет вписанную окружность с центром в точке I и радиусом r. Пусть высота треугольника проведена из вершины A и пересекает сторону BC в точке D. Так как точка I является центром вписанной окружности, то отрезок ID будет равен радиусу окружности, то есть r.

Также из определения высоты треугольника можно заметить, что треугольники AID и ABC подобны, так как углы при вершине A в них равны. Поэтому соотношение сторон этих треугольников равно отношению высот треугольника ABC и треугольника AID, то есть h/AD = AI/AC.

Из свойств вписанного угла треугольника известно, что AD = (p - a), где p - полупериметр треугольника, а - сторона треугольника. Также из формулы для высоты прямоугольного треугольника следует, что h = 2S/a, где S - площадь треугольника.

Таким образом, подставив все известные значения в вышеуказанное соотношение, получим: 2S/a /(p - a) = r/s, где s - полупериметр треугольника. После упрощения данного уравнения можно получить, что h = 2r.

Следовательно, высота треугольника равна удвоенному радиусу вписанной окружности.