Контрольная работа по геометрии 4. Радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник, равен 5 см, а сторона многоугольника — 10 см. Найдите: 1) радиус окружности, описанной около многоугольника; 2) количество сторон многоугольника.
5. Сторона треугольника равна 8√2 см, а прилежащие к ней углы равны 45° и 95°. Найдите длины дуг, на которые делят описанную окружность треугольника его вершины.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Для правильного многоугольника радиус вписанной окружности равен половине стороны, деленной на тангенс половины одного из внутренних углов многоугольника:

r = \frac{s}{2} \cdot tg\left(\frac{180°}{n}\right),

где r - радиус вписанной окружности, s - длина стороны многоугольника, n - количество сторон многоугольника.

Подставляя данные из условия, получаем:

5 = \frac{10}{2} \cdot tg\left(\frac{180°}{n}\right),

tg\left(\frac{180°}{n}\right) = \frac{1}{2},

так как tg(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}}, получаем:

\frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{3}},

откуда следует, что n = 6.

Теперь для радиуса описанной окружности можно воспользоваться формулой:

R = \frac{s}{2} \cdot csc\left(\frac{180°}{n}\right),

R = \frac{10}{2} \cdot csc(30°) = 10,

следовательно, радиус окружности, описанной около многоугольника, равен 10 см.

2) Количество сторон многоугольника равно 6.

Обратим внимание, что сумма прилежащих углов в треугольнике равна 140°, следовательно, угол на центральной дуге, соответствующей стороне треугольника, равен 140°.

Таким образом, сумма длин дуг, на которые делят описанную окружность треугольника его вершины, равна длине окружности, т.е. 2πR = 2 π 8√2 = 16π√2 см.