Назовём натуральное число особым, если оно равно разности двух
степеней двойки. Назовём натуральное число особым, если оно равно разности двух
степеней двойки. Найдите хотя бы одно особое число n такое, что
числа n − 1000 и n − 2000 — тоже особые.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть $n = 2^k$ для некоторого натурального $k$. Тогда $n - 1000 = 2^k - 1000$ и $n - 2000 = 2^k - 2000$.

Заметим, что $2^{10} = 1024 > 1000$, а $2^{11} = 2048 > 2000$. Таким образом, $2^k$ должно находиться в интервале $(1000, 2048)$, то есть $k$ должно быть от 10 до 11.

Подставим $k = 10$ и $k = 11$:

Для $k = 10$, $2^{10} - 1000 = 1024 - 1000 = 24$ и $2^{10} - 2000 = 1024 - 2000 = 24$. Поэтому $n = 2^{10} = 1024$ удовлетворяет условиям.Для $k = 11$, $2^{11} - 1000 = 2048 - 1000 = 1048$ и $2^{11} - 2000 = 2048 - 2000 = 48$. Поэтому $n = 2^{11} = 2048$ не подходит.

Таким образом, найдено хотя бы одно особое число $n = 1024$, такое что числа $n - 1000 = 24$ и $n - 2000 = 24$ также являются особыми.