Тригонометрические формулы суммы и разности углов.
1. Укажи возможные значения tgA, если tg(A + π/4) * tg(A - π/4) = 1
2. Упрости выражение. (cos(45°- α) - sin(45°- α))/(cos(45°- α) + sin(45°- α))

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

tg(A + π/4) = (tgA + tg(π/4))/(1 - tgA*tg(π/4)) = (tgA + 1)/(1 - tgA)

tg(A - π/4) = (tgA - tg(π/4))/(1 + tgA*tg(π/4)) = (tgA - 1)/(1 + tgA)

Используем данное условие:

(tgA + 1)* (tgA - 1) = 1

Раскрываем скобки и получаем:

tgA^2 - 1 = 1

tgA^2 = 2

Отсюда tgA = ±√2

cos(45°- α) = cos45°cosα + sin45°sinα = (1/√2)cosα + (1/√2)sinα = (cosα + sinα)/(√2)

sin(45°- α) = sin45°cosα - cos45°sinα = (1/√2)cosα - (1/√2)sinα = (cosα - sinα)/(√2)

Подставляем в исходное выражение:

(cos(45°- α) - sin(45°- α))/(cos(45°- α) + sin(45°- α)) = ((cosα + sinα)/(√2) - (cosα - sinα)/(√2))/((cosα + sinα)/(√2) + (cosα - sinα)/(√2)) = (2sinα)/(2cosα) = tgα