Шар радиусом 20см увеличил свой объем на 32π см3. (v=4/3π*r^3) На сколько увеличился радиус?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Исходно объем шара равен V1 = (4/3)π(20)^3 = 32π см^3

Обозначим увеличение радиуса как Δr, тогда новый радиус равен r + Δr.

Новый объем шара равен V2 = (4/3)π(r + Δr)^3 = 32π + 32π

Выразим разность объемов через радиусы:

32π + 32π = (4/3)π(r + Δr)^3 - (4/3)πr^3
64π = (4/3)π[(r + Δr)^3 - r^3]

Упростим:

64 = (r + Δr)^3 - r^3
64 = r^3 + 3r^2Δr + 3rΔr^2 + Δr^3 - r^3
64 = 3r^2Δr + 3rΔr^2 + Δr^3

Так как Δr мал, его куб и все произведения Δr в степени 2 можно считать близкими к 0, поэтому можем пренебречь этими членами:

3r^2Δr + Δr^3 ≈ 64
Δr(3r^2 + Δr^2) ≈ 64

Так как р = 20 см:

Δr(3*20^2 + Δr^2) ≈ 64
Δr(1200 + Δr^2) ≈ 64

Так как Δr мал, произведение его и еще одного малого числа будет еще меньше, поэтому для первого приближения можно считать Δr^2 равным 0:

Δr(1200) ≈ 64
Δr ≈ 64 / 1200
Δr ≈ 0.0533 см

Итак, радиус увеличился на примерно 0.0533 см.