Задача по геометрии на нахождение площади боковой и полной поверхностей пирамиды. В треугольной пирамиде боковые рёбра равны и взаимно перпендикулярны. Вычисли площадь боковой поверхности и площадь полной поверхности пирамиды, если боковое ребро равно 12 м.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем высоту пирамиды, которая проходит из вершины пирамиды до середины основания. Поскольку боковые рёбра равны и перпендикулярны, то треугольник, образованный этим ребром, высотой и половиной основания, является прямоугольным.

По теореме Пифагора:

( h^{2} = (\frac{a} {2})^{2} + c^{2} ),

где ( h ) - высота пирамиды, а ( a ) - основание пирамиды (длина стороны треугольника), ( c ) - боковое ребро пирамиды.

( h^{2} = 6^{2} + 12^{2} = 36 + 144 = 180 ),

( h= \sqrt{180} = 6\sqrt{5} ).

Теперь можем найти площадь боковой поверхности пирамиды:

( S_{bok} = \frac{a \cdot c} {2} ),

( S_{bok} = \frac{6 \cdot 12} {2} = \frac{72} {2} = 36 ) м².

Площадь полной поверхности пирамиды состоит из площади боковой поверхности и площади основания:

( S{poln} = S{bok} + S_{osn} ),

основание пирамиды - треугольник, поэтому:

( S_{osn} = \frac{a \cdot h} {2} ),

( S_{osn} = \frac{6 \cdot 6\sqrt{5}} {2} = \frac{36\sqrt{5}} {2} = 18\sqrt{5} ) м².

Таким образом,

( S_{poln} = 36 + 18\sqrt{5} = 36 + 18\sqrt{5} ) м².