Геометрия 10 кл Найдите стороны основания, высоту и объём четырёхугольной пирамиды, если её боковые грани которой наклонены к основанию под углом 45°, периметр основания равен 60, а площади боковых граней равны 50, 75, 75 и 100.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем стороны основания четырехугольной пирамиды.
Обозначим стороны основания через a и b. Тогда
a + b = 60/2 = 30 (периметр основания равен сумме всех сторон)
a = 30 - b

Теперь найдем высоту пирамиды.
Высота пирамиды H можно найти по формуле:
H = √(h1^2 + h2^2),
где h1, h2 - проекции ребер пирамиды на плоскость основания.

Так как боковые грани наклонены к основанию под углом 45°, их проекции равны длине боковых граней. То есть h1 = 50, h2 = 75, h3 = 75, h4 = 100. Тогда
H = √(50^2 + 75^2) = √(2500 + 5625) = √8125 ≈ 90.1

Наконец, найдем объем пирамиды.
Объем пирамиды можно вычислить по формуле:
V = (1/3) S H,
где S - площадь основания, H - высота.

S = a b = (30 - b) b = 30b - b^2
V = (1/3) (30b - b^2) 90.1 ≈ 300b - 30.03b^2

Далее, чтобы найти стороны основания, высоту и объем пирамиды, необходимо найти максимум функции V(b) = 300b - 30.03b^2. Для этого найдем производную и приравняем ее к нулю:
V'(b) = 300 - 60.06b = 0
60.06b = 300
b = 300 / 60.06 = 4.99

Подставляем b = 4.99 в выражения для a, H и V:
a = 30 - 4.99 = 25.01
H = √(50^2 + 75^2) = 90.1
V = (1/3) (304.99 - 4.99^2) * 90.1 ≈ 751.7

Итак, стороны основания пирамиды равны примерно 25.01 и 4.99, высота равна 90.1, а объем пирамиды примерно 751.7.