Задача по геометрии Окружность с центром в точке О, вписанная в треугольник АВС, касается стороны АВ в точке D, стороны АС – в точке Е и стороны ВC в точке М. Прямая OD пересекает сторону АС в точке Н, HC = 2, а прямая ОЕ пересекает сторону АВ в точке К, KB = 1. Найти отношение
BM :MC, если BC = 11.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим радиус окружности как r. Так как точки D, E, M являются точками касания окружности, то AD = AE = AM = r. Также обозначим точку пересечения BC и OD как P.

Так как OD является медианой треугольника ANC, то точка P является серединой стороны AC. Следовательно, AP = PC = 2.

Из теоремы Пифагора для треугольника ABC:
AB^2 + AC^2 = BC^2

Подставляем известные значения:
r^2 + r^2 = 11^2
2r^2 = 121
r^2 = 60.5

Так как KB = 1, то AK = AB - KB = 11 - 1 = 10. Также AK = AD + KD, следовательно KD = 10 - r = 10 - sqrt(60.5).

Теперь посмотрим на прямоугольный треугольник KDM. По теореме Пифагора:
KM^2 = KD^2 + DM^2
KM^2 = (10 - sqrt(60.5))^2 + (r - r)^2
KM^2 = (10 - sqrt(60.5))^2
KM = 10 - sqrt(60.5)

Таким образом, MB = KM + KB = 10 - sqrt(60.5) + 1
MC = BC - MB = 11 - 10 + sqrt(60.5) - 1
Отсюда находим отношение BM:MC:
BM:MC = (10 - sqrt(60.5) + 1) : (sqrt(60.5) - 1)