В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АМ и ВК. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АМ и ВК. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника АМК равна 3 и угол АСВ =60 градусов

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку треугольник АМК - прямоугольный, имеем AM*MK = 3. Так как треугольник АВС остроугольный, то также угол А = 90 градусов.

Так как угол АСВ = 60 градусов, то угол АСМ = 30 градусов (так как треугольник АМК - равнобедренный).

Теперь можем записать теорему косинусов для треугольника АВС:
AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2ABBC*cos(∠ACB)

Так как угол А = 90 градусов, то AB = AM, BC = VK и AC = AM * √2 (по теореме Пифагора).

Теперь можем записать уравнение:
(AM√2)^2 = AM^2 + VK^2 - 2AMVK*cos(∠ACB)

2AM^2 = AM^2 + VK^2 - 2AMVK*cos(∠ACB)

AMVKcos(∠ACB) = AM^2 - VK^2

Используя AM*VK = 3, получаем:

3*cos(∠ACB) = AM/VK - VK/AM

3*cos(∠ACB) = 1 - 1/3

cos(∠ACB) = 1/2

Таким образом, cos(60 градусов) = 1/2, что доказывает наш вывод.

Итак, мы установили, что ∠ACB = 60 градусов, и теперь можем использовать теорему синусов для нахождения площади треугольника АВС:

S_ABC = 0.5 AC BC sin(∠ACB) = 0.5 AM VK sin(60 градусов) = 0.5 3 sin(60 градусов) = 0.5 3 √3 / 2 = 3√3 / 4

Таким образом, площадь треугольника АВС равна 3√3 / 4.