Найти корни многочлена Найти все корни многочлена f(x)=x^5-8x^3+24x^2-28x+16 зная что 1 -i является двукратным корнем

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Дано, что 1 - i является двукратным корнем многочлена f(x). Значит, (x - (1 - i))^2 = (x - 1 + i)^2 = x^2 - 2x + 2iх - 1 - 2i + i^2 = x^2 - 2x + 1 + 2ix + 1 = x^2 - 2x + 2ix + 2.

Далее разделим данный многочлен на (x^2 - 2x + 2ix + 2), чтобы найти оставшийся многочлен:

f(x) = (x^5 - 8x^3 + 24x^2 - 28x + 16) / (x^2 - 2x + 2ix + 2)

Для деления многочленов используем долгое деление:

________________________________

(x^2 - 2x + 2ix + 2) | (x^5 - 8x^3 + 24x^2 - 28x + 16)

(x^5 - 2x^4 + 2ix^3 + 2x^4 - 4x^3 + 4ix^2 + 2ix^3 - 4x^2 + 4ix + 2x^2 - 4x + 4
2x^4 - 6x^3 + 4x^2 - 8x + 12(2x^4 - 4x^3 + 4ix^2 + 2x^3 - 4ix^2 + 4x^2 - 8ix + 12x - 24i + 16
-2x^3 + 0 + 0 + 0 + 8ix + 8 - 12x + 24i - 1
-2x^3 + 4ix + 8ix - 12x + 0 + 0 - 12x + 24i + 8 - 1
______________________________________
4ix - 24x + 32i - 24

Итак, после деления получаем оставшийся многочлен 4ix - 24x + 32i - 24.

Теперь решим уравнение 4ix - 24x + 32i - 24 = 0:

4i(x - 6) = -32
x = 6

Таким образом, корни многочлена f(x) равны x = 1 - i (двукратный корень), x = 1 + i (двукратный корень), x = 6.