Найти все пары натуральных чисел (m,n), для которых число n*m^2 + m + n делится нацело на m*n^2 + n + 7.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы число (nm^2 + m + n) делилось нацело на (mn^2 + n + 7), необходимо и достаточно, чтобы разность между этими двумя числами также делилась нацело на (m*n^2 + n + 7). То есть, для всех натуральных чисел (m) и (n) нужно найти такие пары, для которых:

[(nm^2 + m + n) - (mn^2 + n + 7) = km*n^2 + kn - m^2 - n - 7]

Преобразуем данное уравнение, чтобы найти все возможные решения для (m) и (n).
Подставляем (m n^2 + n + 7) в уравнение:
[kmn^2 + kn - m^2 - n - 7 = 0]
[(kn - 7)(m - n^2) = 0]

Отсюда следует, что либо (m = n^2), либо (kn = 7).
Поскольку (k, n \geq 1), а также предполагается неравенство (m ≠ 0), можно предположить, что ((m, n)) $\in {(7,1), (1,7), (1,1)}$.

Поэтому все пары натуральных чисел, для которых число (nm^2 + m + n) делится нацело на (mn^2 + n + 7), это ((m,n) ∈ {(7,1), (1,7), (1,1)}).