Дана функция z=f(x;y). Показать, что: F (x;y;z;∂z/∂x; ∂z/∂y; (∂^2 z)/(∂x^2 ); (∂^2 z)/(∂y^2 ); (∂^2 z)/∂x∂y)≡0 Z = y^x , F = y((∂^2 z)/∂x∂y))-(1+y)(∂z/∂x)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем частные производные функции z = y^x по x и y:

∂z/∂x = y^x ln(y)
∂z/∂y = x y^(x-1)

Теперь найдем вторые частные производные:

(∂^2 z)/(∂x^2 ) = y^x (ln(y))^2
(∂^2 z)/(∂y^2 ) = (x(x-1)*y^(x-2))

И производную по x от производной по y:

(∂^2 z)/(∂x∂y) = y^(x-1) + x y^(x-1) ln(y)

Теперь подставим все полученные значения в выражение для F:

F = y((y^(x-1) + x y^(x-1) ln(y))) - (1+y)(y^x * ln(y))

F = (y^x * y^(x-1)) + xy^xln(y) - y^xln(y) - y^xln(y) = y^x - y^x = 0

Следовательно, F ≡ 0.