Решить Задание по Аналитической геометрией А) В треугольнике с вершинами A(1;-1);B(0;2);C(4;-2) найти точку T – точку пересечения высот
б) Определить вид треугольника с вершинами A(1;3);B(-1;-3);C(5;-1).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Для начала найдем уравнения высот треугольника ABC.

Высота, проведенная из вершины A, будет перпендикулярна стороне BC и проходить через точку A. Найдем уравнение прямой, проходящей через точки B и C
Уравнение прямой, проходящей через точки B(0;2) и C(4;-2)
k = (2 - (-2))/(0 - 4) =
Уравнение прямой: y = x + 2

Теперь найдем уравнение высоты, проведенной из вершины A_perp
Уравнение перпендикулярной прямой: y = -x +
Точка A(1;-1) лежит на прямой: -1 = -1 + c => c =
Уравнение высоты: y = -x

Аналогично найдем уравнения оставшихся двух высот
Высота из B(0;2): x =
Высота из C(4;-2)
Уравнение прямой, проходящей через точки A и B
k = (3 - (-1))/(1 - (-1)) =
b = 3 - 2*1 =
Уравнение прямой: y = 2x + 1

Уравнение высоты, проведенной из C_perp
Уравнение перпендикулярной прямой: y = -2x +
Точка C(4;-2) лежит на прямой: -2 = -2*4 + d => d =
Уравнение высоты: y = -2x + 6

Теперь найдем точку пересечения высот. Для этого найдем точку пересечения каждой пары высот:

y = -x и x =
x = 0, y = 0y = -x и y = 2x +
-x = 2x +
3x = -
x = -1/3, y = 1/3x = 0 и y = 2x +
x = 0, y = 1

Итак, точка пересечения высот T(-1/3;1/3).

б) Для определения вида треугольника с вершинами A(1;3);B(-1;-3);C(5;-1), будем исследовать длины сторон и углы.

Найдем длины сторон
AB = sqrt((1 + 1)^2 + (3 + 3)^2) = sqrt(4 + 36) = sqrt(40) = 2sqrt(10
BC = sqrt((-1 - 5)^2 + (-3 + 1)^2) = sqrt(36 + 4) = sqrt(40) = 2sqrt(10
AC = sqrt((1 - 5)^2 + (3 + 1)^2) = sqrt(16 + 16) = sqrt(32) = 4*sqrt(2)

Найдем квадраты длин сторон
a^2 = 40, b^2 = 40, c^2 = 32

Проверим условие существования треугольника
Сумма двух сторон всегда должна быть больше третьей: a + b > c, a + c > b, b + c >
2sqrt(10) + 2sqrt(10) > 4sqrt(2) => 4sqrt(10) > 4sqrt(2) - выполняетс
2sqrt(10) + 4sqrt(2) > 2sqrt(10) - выполняетс
2sqrt(10) + 4sqrt(10) > 2*sqrt(10) - выполняется

Треугольник существует.

Теперь найдем углы треугольника и определим его вид
Угол A = acos((b^2 + c^2 - a^2)/(2bc)) = acos((40 + 32 - 40)/(22sqrt(10)4sqrt(2))) = acos(0) = 90 градусо
Угол B = acos((a^2 + c^2 - b^2)/(2ac)) = acos((40 + 32 - 40)/(22sqrt(10)4sqrt(2))) = acos(0) = 90 градусо
Угол C = acos((a^2 + b^2 - c^2)/(2ab)) = acos((40 + 40 - 32)/(2sqrt(10)2*sqrt(10))) = acos(1) = 0 градусов

Таким образом, данный треугольник ABC является прямоугольным.