Задача по геометрии В правильный треугольник со стороной 40 вписана окружность. В окружность вписан правильный шестиугольник. В
шестиугольнике отмечены точками средины двух противоположных сторон. Полученные две точки использованы в
качестве противоположных вершин при построении квадрата. Найдите площадь квадрата. Ответ дайте в тех же
единицах длины и округлите до ближайшего целого значения.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим через R радиус окружности, вписанной в треугольник, а через r радиус окружности, вписанной в шестиугольник. Так как радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен половине стороны треугольника, то R = 20. Также известно, что радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, равен стороне шестиугольника, деленной на 2sqrt(3), то есть r = 20/sqrt(3).

Теперь построим равных квадрат ABCD, используя точки, полученные в шестиугольнике, как вершины B и C. Так как центр шестиугольника совпадает с центром окружности, вписанной в шестиугольник, то AB = BC = r = 20/sqrt(3). Также, так как AD и BC являются диагоналями квадрата, то AD = BC = 40.

Теперь мы можем найти площадь квадрата через формулу S = (AD)^2 = 40^2 = 1600.

Ответ: площадь квадрата равна 1600.