Какой номер имеет член арифметической
прогрессии, совпадающий с четвёртым членом геометрической прогрессии? Последовательность a1, a2, … — возрастающая арифметическая прогрессия, а её часть
a1, a3, a11, … — геометрическая прогрессия. Какой номер имеет член арифметической
прогрессии, совпадающий с четвёртым членом этой геометрической прогрессии?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть первый член арифметической прогрессии равен а, а шаг равен d. Тогда четвертый член геометрической прогрессии будет равен а*r^3, где r - знаменатель геометрической прогрессии.

Так как a1 = a, a3 = a+d, a11 = a+9d, то мы можем составить следующие уравнения:
a+d = ar
a+9d = ar^3

Из первого уравнения получаем, что d = a*(r-1).

Подставляем d во второе уравнение:
a+9a(r-1) = ar^3
10a - 9ar = ar^3
10 - 9r = r^3

Таким образом, уравнение можно записать в виде:
r^3 + 9r - 10 = 0

Решим это уравнение. Заметим, что 1 - это корень уравнения, поэтому можно разделить r^3 + 9r - 10 на r - 1:
r^3 + 9r - 10 = (r - 1)(r^2 + r + 10)

Теперь решаем квадратное уравнение r^2 + r + 10 = 0. Дискриминант отрицателен, значит, у уравнения нет действительных корней, а значит, четвертый член геометрической прогрессии не определен. Таким образом, невозможно определить номер члена арифметической прогрессии, совпадающий с четвертым членом геометрической прогрессии.