Из листа, имеющего форму круга радиуса Из листа, имеющего форму круга радиуса R, вырезать такой сектор, чтобы, свернув его, получить воронку наибольшей вместимости.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения такого сектора, который при сворачивании будет образовывать воронку наибольшей вместимости, нужно вырезать сектор с наибольшим возможным углом.

Пусть у нас есть сектор круга с углом α. Тогда радиус воронки, образованной из данного сектора, будет равен Rsin(α/2), а высота воронки - R(1-cos(α/2)).

Объём воронки V = (площадь основания)(высота)/3 = π(Rsin(α/2))^2(R(1-cos(α/2)))/3 = (π/3)R^3 sin^2(α/2)(1-cos(α/2)).

Для нахождения максимального объема воронки, нужно найти максимум функции V(α) = (π/3)R^3 sin^2(α/2)*(1-cos(α/2)).

Дифференцируем функцию V(α) по α и приравниваем производную к нулю:

dV/dα = (π/6)R^3 sin(α) cos(α/2) + (π/6)R^3 sin(α/2) sin(α/2) * cos(α/2) = 0.

Сокращаем на (π/6)*R^3 и sin(α/2) и получаем:

sin(α)cos(α/2) + sin(α/2) = 0,

sin(α)/2 + sin(α/2) = 0,

sin(α) = -2sin(α/2),

-2cos(π/2 - α/2) = -2sin(α/2),

cos(π/2 - α/2) = sin(α/2).

Таким образом, максимальный объем воронки будет достигаться, когда sin(α/2) = cos(α/2), т.е. когда α/2 = π/4, α = π/2.

Итак, нужно вырезать сектор круга с углом π/2 и свернуть его - это даст воронку наибольшей вместимости.