С помощью двойного интеграла найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=sinx, y=cosx, y=0, x=0, x=π/2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала нарисуем графики функций y = sinx и y = cosx на интервале [0, π/2]:

Синяя линия - y = sinx
Красная линия - y = cosx

Для решения данной задачи мы можем разбить фигуру на две части: одну часть под графиком функции y = sinx и вторую часть под графиком функции y = cosx.

Первая часть фигуры ограничена графиками y = sinx, y = 0 и x = 0 и x = π/4 (точка пересечения sinx и cosx). Площадь этой части можно найти с помощью двойного интеграла:

∫[0, π/4]∫[0, sinx] dydx

= ∫[0, π/4] sinx dx
= [-cosx] [0, π/4]
= -cos(π/4) + cos(0)
= -sqrt(2)/2 + 1.

Вторая часть фигуры ограничена графиками y = cosx, y = 0 и x = π/4 и x = π/2. Площадь этой части можно также найти с помощью двойного интеграла:

∫[π/4, π/2]∫[0, cosx] dydx

= ∫[π/4, π/2] cosx dx
= [sinx] [π/4, π/2]
= sin(π/2) - sin(π/4)
= 1 - sqrt(2)/2.

Итак, общая площадь фигуры, ограниченной линиями y=sinx, y=cosx, y=0, x=0, x=π/2, равна сумме площадей двух частей:

A = -sqrt(2)/2 + 1 + 1 - sqrt(2)/2
A = 2 - sqrt(2).