Геометрия. Векторы.Параллелограмм. Прямая На стороне ОN параллелограмма AMNO и его диагонали взяты такие точки В и С, что
OB = 1/n * ON, OC = 1/(n+1)*OM (Векторы). Доказать, что точки А, В, С лежат на одной прямой.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть векторы OA = a, ON = b, OM = c. Тогда векторы OB = 1/n b и OC = 1/(n+1) c.

Так как точки B и C лежат на диагоналях параллелограмма, то векторы AB и BC можно выразить через векторы b и c:

AB = OB - OA = 1/n b - a
BC = OC - OC = 1/(n+1) c - a

Теперь рассмотрим векторное произведение AB и BC:

[AB, BC] = (1/n b - a) x (1/(n+1) c - a)
= (1/n b - a) x (1/(n+1) c) - (1/n b - a) x a
= 1/n (b x c) - a x (1/(n+1) c) - 1/n (b x a) + a x a
= 1/n (b x c) - 1/(n+1) (a x c) - 1/n (a x b) + 0
= 1/n [(b x c) - a x b] - 1/(n+1) * (a x c)

Заметим, что [(b x c) - a x b] = 0, так как векторы b и c - стороны параллелограмма, следовательно векторы b и c линейно зависимы, что означает их двумерность, а следовательно их косое произведение равно нулю.

Таким образом, (1/n [(b x c) - a x b] - 1/(n+1) (a x c)) = 0, что значит, что векторное произведение AB и BC равно нулю, а это означает, что точки A, B, C лежат на одной прямой.

Таким образом, точки A, B, C действительно лежат на одной прямой.