Найти все натуральные n при которых уравнение а^b+b^a=n имеет одно, два или три решения в натуральных числах

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Представим уравнение в виде а^b + b^a = n как f(a, b) = n.

При а = 1 и b = 1 получаем 1^1 + 1^1 = 2, значит n = 2 является одним из решений.

Теперь рассмотрим случай, когда а ≠ 1 и b ≠ 1. Тогда a^b > a и b^a > b, следовательно, a^b + b^a > a + b. Это значит, что есть как минимум два натуральных числа, которые удовлетворяют уравнению для любого n ≥ a + b.

Теперь помимо 2, находим также значения n = 4 и n = 8 (для (a, b) = (2, 2) и (a, b) = (2, 3) соответственно)

Таким образом, все натуральные n, для которых уравнение имеет одно, два или три решения в натуральных числах: n = 2, 4, 8.