Решите уравнение f'(x)=0 и неравенства f' (x) < 0 для функции: а) f (x) = 2x^3+3x^2-12
б) f (x) = 3-x^2/x+2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Начнем с нахождения производной функции f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x
f'(x) = 6x^2 + 6x - 12

Теперь решим уравнение f'(x) = 0
6x^2 + 6x - 12 =
Поделим все коэффициенты на 6
x^2 + x - 2 =
(x + 2)(x - 1) =
x = -2 или x = 1

Таким образом, точки экстремума функции f(x) находятся в x = -2 и x = 1.

Теперь проверим знаки производной f'(x) в интервалах
1) x < -
Подставим любое число меньше -2, например, x = -3
f'(-3) = 6(-3)^2 + 6(-3) - 12 = 6(9) - 18 - 12 = 36 - 18 - 12 = 6 > 0

2) -2 < x <
Подставим x = 0
f'(0) = 6(0)^2 + 6(0) - 12 = -12 < 0

3) x >
Подставим любое число больше 1, например, x = 2
f'(2) = 6(2)^2 + 6(2) - 12 = 24 + 12 - 12 = 24 > 0

Таким образом, неравенство f'(x) < 0 выполняется на интервале (-2, 1).

б) Начнем с нахождения производной функции f(x) = (3 - x^2) / (x + 2)
f(x) = (3 - x^2) / (x + 2
f'(x) = [(2x)(x + 2) - (3 - x^2)] / (x + 2)^
f'(x) = (2x^2 + 4x - 3 + x^2) / (x + 2)^
f'(x) = (3x^2 + 4x - 3) / (x + 2)^2

Теперь решим уравнение f'(x) = 0
3x^2 + 4x - 3 =
Дискриминант D = 4^2 - 43(-3) = 16 + 36 = 5
x = (-4 ± √52) / 6

Таким образом, точки экстремума функции f(x) находятся в x = (-4 + √52) / 6 и x = (-4 - √52) / 6.

Теперь проверим знаки производной f'(x) в интервалах, окружающих найденные точки экстремума, чтобы найти интервалы, где f'(x) < 0.