Вычислить объем тела полученного вращением фигуры x^2/9 + y^2/4 = 1 вокруг оси Oy

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Данное уравнение представляет собой уравнение эллипса:

x^2/9 + y^2/4 = 1

Для нахождения объема тела, полученного вращением этой фигуры вокруг оси Oy, можно воспользоваться методом цилиндров.

Объем вращаемой фигуры можно найти по формуле:

V = π ∫[a,b] y^2 dx

Для начала выразим y через x:

y = 2 * sqrt(1 - x^2/9)

Теперь вычислим пределы интегрирования a и b по x:

Для уравнения x^2/9 + y^2/4 = 1 имеем: x^2/9 + y^2/4 = 1 => y^2 = 4 - 4x^2/9 => y = sqrt(4 - 4x^2/9) = 2 * sqrt(1 - x^2/9)

Таким образом, a = -3, b = 3

Подставляем y в формулу объема:

V = π ∫[-3,3] (2 sqrt(1 - x^2/9))^2 dx
V = 4π ∫[-3,3] (1 - x^2/9) dx
V = 4π [x - x^3/27]∣[-3,3]
V = 4π [(3 - 3^3/27) - (-3 + 3^3/27)]
V = 4π [(3 - 27/27) - (-3 + 27/27)]
V = 4π [(3 - 1) - (-3 + 1)]
V = 4π (2 + 2) = 16π

Таким образом, объем тела, полученного вращением этой фигуры вокруг оси Oy, равен 16π.