Интересная задача по геометрии. Дан правильный восьмиугольник ABCDEFGH на его описанной окружности отмечена произвольная точка K. Докажите что сумма четвёртых степеней расстояний от точки K до AE, BF, CG, DH не зависит от выбора точки K.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала обозначим центр описанной окружности правильного восьмиугольника ABCDEFGH как O. Так как ABCDEFGH - правильный восьмиугольник, то он описан около окружности радиуса R, где R - расстояние от O до любой из вершин восьмиугольника.

Представим точку K как A', B', C' и D' - проекции точки K на прямые AE, BF, CG и DH соответственно.

Так как угол AOC = 45 градусов (так как ABCDEFGH - правильный восьмиугольник), а угол KAA' = 90 градусов (так как A' - проекция точки K на прямую AE), то треугольник OAA' - прямоугольный с углом при O равным 45 градусов. Поэтому расстояние от точки K до прямой AE равно AA' = R * sin 45.

Аналогично, расстояния от точки K до прямых BF, CG, DH равны соответственно R sin 45, R sin 45, R * sin 45.

Таким образом, сумма четвертых степеней расстояний от точки K до прямых AE, BF, CG, DH равна:

(R sin 45)^4 + (R sin 45)^4 + (R sin 45)^4 + (R sin 45)^4 = 4 (R sin 45)^4

Поскольку R - постоянное значение (радиус описанной окружности), сумма четвертых степеней расстояний не зависит от выбора точки K.