Задача по алгебре
Туристический маршрут ведёт от станции сначала вверх на вершину холма, а затем вниз по склону холма к озеру. При подъёме туристы идут со скоростью 2 км/ч, а при спуске — со скоростью 3 км/ч. Путь от станции до озера занимает 3,5 часа, а обратный путь — 4 часа. Найдите длину маршрута.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим расстояние от станции до вершины холма как ( x ) км, а от вершины холма до озера как ( y ) км.

Тогда время на подъем и на спуск можно выразить следующим образом:

[
\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 3.5
]
[
\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 4
]

Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, чтобы избавиться от дробей:

[
3x + 2y = 10.5
]
[
2x + 3y = 8
]

Решим данную систему уравнений методом уравнения ( x ) и ( y ):

[
\begin{cases}
3x + 2y = 10.5 \
2x + 3y = 8
\end{cases}
]

Умножим первое уравнение на 2, а второе на 3:

[
\begin{cases}
6x + 4y = 21 \
6x + 9y = 24
\end{cases}
]

Вычтем первое уравнение из второго:

[
5y = 3 \Rightarrow y = 0.6
]

Подставим ( y = 0.6 ) во второе уравнение:

[
2x + 3 \cdot 0.6 = 8 \Rightarrow 2x + 1.8 = 8 \Rightarrow 2x = 6.2 \Rightarrow x = 3.1
]

Таким образом, длина маршрута от станции до озера равна сумме расстояний до вершины холма и до озера:

[ x + y = 3.1 + 0.6 = 3.7 \text{ км} ]

Итак, длина маршрута от станции до озера составляет 3.7 км.