Вычислить массу части Эллипса
Вычислить массу части Эллипса
x²/4 + y²/9 = 1
В первой четверти если плотность равна б = xy

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для вычисления массы части эллипса, необходимо найти функцию плотности в зависимости от координат x и y, а затем проинтегрировать эту функцию по площади эллипса.

Для начала найдем функцию плотности b(x, y) = xy.

Затем найдем представление эллипса в полярных координатах:
x = 2rcos(θ)
y = 3rsin(θ)

Где r - радиус в полярных координатах, θ - угол.

Затем найдем якобиан преобразования координат:
dy dx = |d(2rcos(θ))/dr d(3rsin(θ))/dθ
|2cos(θ) 3rcos(θ)
|3rsin(θ) -2rsin(θ)| dr dθ
= 6rcos^2(θ) + 6r*sin^2(θ)
= 6r

Теперь подставим в функцию плотности:
b(r, θ) = 2rcos(θ) 3rsin(θ) = 6r^2cos(θ)sin(θ)

Теперь проинтегрируем функцию плотности по площади эллипса:
∬b(r, θ) dA = ∫[0, 2π] ∫[0, 1] 6r^2cos(θ)sin(θ) 6r dr dθ
= 36 ∫[0, 2π] cos(θ)sin(θ) dθ ∫[0, 1] r^3 dr
= 36 * 0 ∫[0, 1] r^3 dr
= 0

Таким образом, масса части эллипса с плотностью b = xy в первой четверти равна 0.