Задача «Особенности квадрата» Дан квадрат ABCD со стороной 4 корня из 2. Точка О - точка пересечения диагоналей. OE - отрезок, перпендикулярный плоскости квадрата ABCD и OE=2.

Найдите косинус угла между плоскостями BCE и DEC.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала определим угол между плоскостью BCE и DEC. Этот угол равен углу между векторами ортогональными этим плоскостям. Найдем вектора, лежащие в этих плоскостях.
Возьмем вектор BC = (0, 4√2, 0) и вектор DC = (-4√2, 0, 0). Найдем их векторное произведение:
BC x DC = (0 0 - 4√2 4√2, 0 0 - 0 (-4√2), 0 (-4√2) - 4√2 0) = (-32, 0, 0).
Нормализуем этот вектор: (-32/sqrt(32^2), 0, 0) = (-1, 0, 0).
Теперь найдем векторы OE = (2, 0, 0) и DE = (-2√2, 2√2, 0). Найдем их векторное произведение:
OE x DE = (0 0 - 0 2√2, 0 0 - 2 (-2√2), 2 2√2 - 0 0) = (0, 4√2, 0).
Нормализуем этот вектор: (0/sqrt(32), 4√2/sqrt(32), 0) = (0, 1, 0).

Теперь найдем косинус угла между этими векторами:
cos(θ) = (BC x DC) (OE x DE) / (|BC x DC| |OE x DE|) = 0 0 + 4√2 1 + 0 0 / (sqrt(32) sqrt(32)) = 4√2 / 32 = √2 / 8.

Таким образом, косинус угла между плоскостями BCE и DEC равен √2 / 8.