Натуральное число N таково, что оно делится на 81 и на 5, и при этом имеет 39 различных Натуральное число N таково, что оно делится на 81 и на 5, и при этом имеет 39 различных натуральных делителя (включая 1 и само число N). Найдите все возможные значения N.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку число N делится на 81, то оно представимо в виде N = 81 * a, где a - натуральное число
Также из условия деления на 5 следует, что N делится на 5, а значит a делится на 5.

Поскольку у числа N имеется 39 различных натуральных делителей, то число N можно представить в виде N = p^2 q^2, где p и q - простые числа. Также имеем следующее количество делителей: (2+1)(2+1)=9 делителей для p^2 и 9 делителей для q^2.

Итак, у нас есть N = (p^2) (q^2) = (pq)^2 * 81, где p и q - простые числа, а N делится на 5 и имеет 39 делителей.

Поскольку N делится на 5, то p*q должно делиться на 5, следовательно, либо p=5 и q - любое простое число, не равное 5, либо q=5 и p - любое простое число, не равное 5.

С учетом условий общего количества делителей, получаем два варианта
1) N = (52)^2 81 = 10081 = 810
2) N = (25)^2 81 = 10081 = 8100

Итак, все возможные значения N равны 8100.