a) Найдем производную функции y = x^3 - 2x^2 + x + 3y' = 3x^2 - 4x + 1
Чтобы найти точки экстремума, приравняем производную к нулю3x^2 - 4x + 1 = (x-1)(3x-1) = 0
Отсюда получаем две точки экстремума: x = 1 и x = 1/3.
Теперь найдем интервалы возрастания и убывания функции. Для этого построим знаки производной на интервалах (-∞, 1/3), (1/3, 1) и (1, +∞):
Таким образом, функция возрастает на интервале (-∞, 1/3) и убывает на интервале (1/3, 1).
b) Найдем производную функции y = 2x/(x^2 + 1)y' = (2(x^2+1) - 2x(2x))/(x^2+1)^y' = (2(x^2 + 1 - 2x^2))/(x^2 + 1)^y' = (2 - 2x^2)/(x^2 + 1)^2
Чтобы найти точки экстремума, приравняем производную к нулю2 - 2x^2 = 2x^2 = x^2 = x = ±1
Отсюда получаем две точки экстремума: x = 1 и x = -1.
Теперь найдем интервалы возрастания и убывания функции. Для этого построим знаки производной на интервалах (-∞, -1), (-1, 1) и (1, +∞):
Таким образом, функция возрастает на интервале (-∞, -1) и убывает на интервале (-1, 1).
a) Найдем производную функции y = x^3 - 2x^2 + x + 3
y' = 3x^2 - 4x + 1
Чтобы найти точки экстремума, приравняем производную к нулю
3x^2 - 4x + 1 =
(x-1)(3x-1) = 0
Отсюда получаем две точки экстремума: x = 1 и x = 1/3.
Теперь найдем интервалы возрастания и убывания функции. Для этого построим знаки производной на интервалах (-∞, 1/3), (1/3, 1) и (1, +∞):
Точка x = 1/3 - возрастаниТочка x = 1 - убывание
Таким образом, функция возрастает на интервале (-∞, 1/3) и убывает на интервале (1/3, 1).
b) Найдем производную функции y = 2x/(x^2 + 1)
y' = (2(x^2+1) - 2x(2x))/(x^2+1)^
y' = (2(x^2 + 1 - 2x^2))/(x^2 + 1)^
y' = (2 - 2x^2)/(x^2 + 1)^2
Чтобы найти точки экстремума, приравняем производную к нулю
2 - 2x^2 =
2x^2 =
x^2 =
x = ±1
Отсюда получаем две точки экстремума: x = 1 и x = -1.
Теперь найдем интервалы возрастания и убывания функции. Для этого построим знаки производной на интервалах (-∞, -1), (-1, 1) и (1, +∞):
Точка x = -1 - возрастаниТочка x = 1 - убывание
Таким образом, функция возрастает на интервале (-∞, -1) и убывает на интервале (-1, 1).