Математика Точки возрастания, убывания и точки экстремума Найдите интервалы возрастания и убывания и точки экстремума функции:
a) y = x^3-2x^2+x+3
b) y = 2x/(x^2+1)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

a) Найдем производную функции y = x^3 - 2x^2 + x + 3:
y' = 3x^2 - 4x + 1

Чтобы найти точки экстремума, приравняем производную к нулю:
3x^2 - 4x + 1 = 0
(x-1)(3x-1) = 0

Отсюда получаем две точки экстремума: x = 1 и x = 1/3.

Теперь найдем интервалы возрастания и убывания функции. Для этого построим знаки производной на интервалах (-∞, 1/3), (1/3, 1) и (1, +∞):

Таким образом, функция возрастает на интервале (-∞, 1/3) и убывает на интервале (1/3, 1).

b) Найдем производную функции y = 2x/(x^2 + 1):
y' = (2(x^2+1) - 2x(2x))/(x^2+1)^2
y' = (2(x^2 + 1 - 2x^2))/(x^2 + 1)^2
y' = (2 - 2x^2)/(x^2 + 1)^2

Чтобы найти точки экстремума, приравняем производную к нулю:
2 - 2x^2 = 0
2x^2 = 2
x^2 = 1
x = ±1

Отсюда получаем две точки экстремума: x = 1 и x = -1.

Теперь найдем интервалы возрастания и убывания функции. Для этого построим знаки производной на интервалах (-∞, -1), (-1, 1) и (1, +∞):

Таким образом, функция возрастает на интервале (-∞, -1) и убывает на интервале (-1, 1).