Теорема об окружности,вписанной в треугольник.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Теорема: Окружность можно вписать в треугольник тогда и только тогда, когда сумма длин двух его сторон больше длины третьей стороны.

Доказательство:

Пусть у нас есть треугольник ABC и окружность, вписанная в него. Пусть радиус окружности равен r.

Проведем перпендикуляры от центра окружности к сторонам треугольника. Обозначим точки касания окружности с сторонами как D, E и F.

Так как радиус окружности перпендикулярен касательной, то треугольники ADF, BEF и CDE равнобедренные.

Обозначим длины сторон треугольника как a, b и c. По свойству равнобедренного треугольника, AD=AF=(c-a)/2, BE=BF=(a-b)/2 и CD=CE=(b-c)/2.

Сумма длин сторон треугольника равна a+b+c, а сумма длин перпендикуляров равна (c-a)+(a-b)+(b-c)=0.

Таким образом, условие вписанности окружности в треугольник выполняется только если сумма длин двух сторон треугольника больше длины третьей стороны.