Дан бином(2a^3+b)^n, найдите n если сумма всех биномиальных коэффициентов равна 256

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться формулой бинома Ньютона:

(2a^3 + b)^n = C(n,0)(2a^3)^nb^0 + C(n,1)(2a^3)^(n-1)b^1 + ... + C(n,n)*b^n

Где C(n,k) - биномиальный коэффициент.

Сумма всех биномиальных коэффициентов равна 256:

C(n,0) + C(n,1) + ... + C(n,n) = 256

Поскольку каждый биномиальный коэффициент равен 2^k (где k - порядковый номер в биномиальном разложении), то сумма всех биномиальных коэффициентов равна:

2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^n = 256

Так как 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^n = 2^(n+1) - 1, подставим это значение в уравнение:

2^(n+1) - 1 = 256

2^(n+1) = 257

n + 1 = log2(257)

n ≈ 7.994

Таким образом, биномиальный коэффициент для данного бинома равен n ≈ 8.