Составить функцию Грина для краевой задачи y''=e^(-x), y'(0) = 0, y(Pi) = 0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для составления функции Грина для данной краевой задачи необходимо решить уравнение:

L(G) = -G''(x) = δ(x - ξ),

где δ(x - ξ) - дельта-функция Дирака.

Исходное уравнение можно представить в виде:

-G''(x) = δ(x - ξ).

Общее решение двукратного дифференциального уравнения будет иметь вид:

G(x, ξ) = C1(ξ) + C2(ξ)x + [(x - ξ) / 2]u(ξ),

где C1(ξ), C2(ξ) - произвольные функции от ξ, u(ξ) - функция, удовлетворяющая краевым условиям.

Для начала найдем частное решение для уравнения L(G) = δ(x - ξ). Функция u(ξ) будет удовлетворять условиям:

u(0) = 0, u(π) = 0.

Интегрируем уравнение L(G) = δ(x - ξ) дважды. Получим:

G(x, ξ) = -|x - ξ| + (ξ - π)Heaviside(x - ξ) + (π - x)Heaviside(ξ - x),

где Heaviside(x) - функция Хэвисайда.

Таким образом, функция Грина для данной краевой задачи будет иметь вид:

G(x, ξ) = -|x - ξ| + (ξ - π)Heaviside(x - ξ) + (π - x)Heaviside(ξ - x).