Математический анализ: экстремумы функции Найти максимальное значение функции:
V(h)= π/4 * (4R²-h²) * h
R - постоянная
D(h) = (0; 2R)
R > 0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для поиска максимального значения функции V(h), возьмем производную dV(h)/dh и приравняем ее к нулю:

dV(h)/dh = π/4 (4R² - h²) + π/4 (-2h) h = 0
π/4 (4R² - h² - 2h²) = 0
π/4 * (4R² - 3h²) = 0
4R² - 3h² = 0
h² = 4R²/3
h = 2R/√3

Чтобы убедиться, что это точка экстремума, возьмем вторую производную:

d²V(h)/dh² = -2πh

При подстановке h = 2R/√3, получаем:

d²V(2R/√3)/dh² = -2π * 2R/√3 < 0, следовательно это точка максимума.

Таким образом, максимальное значение функции V(h) равно:

V(2R/√3) = π/4 (4R² - (2R/√3)²) (2R/√3)
V(2R/√3) = π/4 (4R² - 4R²/3) 2R/√3
V(2R/√3) = π/4 (8R²/3) 2R/√3
V(2R/√3) = 4πR³/√3