Для нахождения промежутков возрастания и убывания и точек экстремума функции f(x), сначала найдем производную функции:
f'(x) = 4x - 3x^2
Теперь найдем точки, где производная равна нулю:
4x - 3x^2 = x(4 - 3x) = x = 0 или x = 4/3
Теперь определяем знак производной в каждом интервале:
Для x < 0: f'(x) < 0, значит функция убывает на этом промежутке.Для 0 < x < 4/3: f'(x) > 0, значит функция возрастает на этом промежутке.Для x > 4/3: f'(x) < 0, значит функция убывает на этом промежутке.
Таким образом, у нас есть следующие результаты:
Функция убывает на интервале (-∞, 0) и (4/3, +∞)Функция возрастает на интервале (0, 4/3)
Теперь найдем точки экстремума, для этого исследуем значение второй производной:
f''(x) = 4 - 6x
Подставляем найденные точки экстремума (x=0, x=4/3) во вторую производную:
Для x=0: f''(0) = 4 > 0, значит у нас минимум в точке x=0.Для x=4/3: f''(4/3) = 4 - 6(4/3) = 4 - 8 = -4 < 0, значит у нас максимум в точке x=4/3.
Таким образом, мы нашли, что функция имеет минимум в точке x=0 и максимум в точке x=4/3.
Для нахождения промежутков возрастания и убывания и точек экстремума функции f(x), сначала найдем производную функции:
f'(x) = 4x - 3x^2
Теперь найдем точки, где производная равна нулю:
4x - 3x^2 =
x(4 - 3x) =
x = 0 или x = 4/3
Теперь определяем знак производной в каждом интервале:
Для x < 0: f'(x) < 0, значит функция убывает на этом промежутке.Для 0 < x < 4/3: f'(x) > 0, значит функция возрастает на этом промежутке.Для x > 4/3: f'(x) < 0, значит функция убывает на этом промежутке.Таким образом, у нас есть следующие результаты:
Функция убывает на интервале (-∞, 0) и (4/3, +∞)Функция возрастает на интервале (0, 4/3)Теперь найдем точки экстремума, для этого исследуем значение второй производной:
f''(x) = 4 - 6x
Подставляем найденные точки экстремума (x=0, x=4/3) во вторую производную:
Для x=0: f''(0) = 4 > 0, значит у нас минимум в точке x=0.Для x=4/3: f''(4/3) = 4 - 6(4/3) = 4 - 8 = -4 < 0, значит у нас максимум в точке x=4/3.Таким образом, мы нашли, что функция имеет минимум в точке x=0 и максимум в точке x=4/3.