У Коли есть настольная игра, состоящая из 99 полей по кругу... Как решить? У Коли есть настольная игра, состоящая из 99 полей по кругу. Сначала Коля ставит фишку на любое поле. Первым ходом фишка перемещается по часовой стрелке на соседнее поле — это ход длины 1. Затем вторым ходом фишка перемещается по часовой стрелке ходом длины 2. Затем третьим ходом фишка перемещается по часовой стрелке ходом длины 3 и т.д. Каждый раз фишка ходит на одно поле дальше. После какого хода фишка впервые окажется на том же поле, где была изначально?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давайте рассмотрим данную задачу. После 1-го хода фишка окажется на 1-м поле (1 ход длины 1). После 2-го хода фишка окажется на 3-м поле (1 ход длины 1, 1 ход длины 2). После 3-го хода фишка окажется на 6-м поле (1 ход длины 1, 1 ход длины 2, 1 ход длины 3). На каждом последующем шаге фишка окажется на сумме предыдущего шага и числа хода (1+2+3+…+n), где n - количество ходов. Для того чтобы определить, после какого хода фишка вернется на исходное поле, нужно найти такое n, при котором 1+2+3+…+n кратно 99. Таким образом, найдем сумму первых n натуральных чисел до тех пор, пока результат не станет кратным 99:

n(n+1)/2 = 1+2+3+…+n

Решим уравнение:

n(n+1)/2 = 99k, где k - натуральное число

n(n+1) = 198k

Для n = 13: 1314 = 182 (не кратно 198
Для n = 14: 1415 = 210 (кратно 198)

Таким образом, фишка вернется на исходное поле после 14-го хода.