Как же решить уравнение в натуральных числах? 4xy - x - y = z^2. Эту задачу придумал Леонард Эйлер.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения уравнения 4xy - x - y = z^2 в натуральных числах можно воспользоваться методом бесконечных спусков.

Давайте заметим, что уравнение можно переписать в виде (4x-1)(4y-1) = 4z^2 + 1.

Теперь приступим к поиску натуральных решений данного уравнения. Начнем с натурального числа z = 1.

Подставим z = 1, тогда у нас получится (4x-1)(4y-1) = 5. Нам нужно разложить число 5 на два множителя, которые на 1 больше кратных 4. Таких комбинаций нет, следовательно, при z = 1 натуральных решений нет.

Пусть теперь z = 2. Тогда у нас получится (4x-1)(4y-1) = 17. Разложим число 17 на множители: 17 = 1 17 = 17 1, где 1 и 17 отличаются на 1 (кратность четырех). Значит, у нас есть решение при z = 2: (x, y) = (2, 2).

Мы можем продолжать аналогично для всех натуральных чисел z и искать подходящие значения x и y.