Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость или расходимость ряда

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

для этого нужно показать, что для любого ε>0 найдется такое N, что для всех n,m>N выполняется |s_n - s_m| < ε, где s_n - частичная сумма ряда.

Например, рассмотрим ряд ∑(1/n^2) от n=1 до ∞.

Для этого ряда будем искать N такое, что если n,m>N, то |s_n - s_m| = |∑(1/k^2) для k от m+1 до n| = |1/(m+1)^2 + 1/(m+2)^2 + ... + 1/n^2| < ε.

Заметим, что каждый из членов ряда положительный, поэтому можем оценить сумму сверху неравенством треугольника: |s_n - s_m| < 1/(m+1)^2 + 1/(m+2)^2 + ... + 1/n^2 < 1/(m+1)^2 + 1/(m+1)^2 + ... = 1/(m+1)^2.

Теперь, чтобы найти N, удовлетворяющее условию, подставим эту оценку в неравенство: 1/(m+1)^2 < ε.

Отсюда получаем, что m > sqrt(1/ε) - 1.

Значит, если выбрать N > sqrt(1/ε) - 1, то для любых n,m > N выполняется |s_n - s_m| < ε, что доказывает сходимость данного ряда по критерию Коши.