Проверить, что выражение du является полным дифференциалом, и найти функцию u(x,y). Вариант 1.
du = (2cosx+cosy)dx + (siny – xsiny)dy
Вариант 2.
du = 2xy3dx +3x2y2dy
Вариант 3.
du = (x + 3y2)dx+(6xy – y2)dy

Вариант 4.
du = (3x2 + 2xsiny)dx + (y + x2cosy)dy

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

В данном случае, чтобы проверить, является ли выражение du полным дифференциалом, необходимо убедиться, что частная производная по y от первого слагаемого равна частной производной по x от второго слагаемого.

Вариант 1:
∂/(∂y) (2cosx + cosy) = -siny
∂/(∂x) (siny - xsiny) = -siny

Таким образом, выражение du = (2cosx+cosy)dx + (siny – xsiny)dy является полным дифференциалом. Для нахождения функции u(x,y) проинтегрируем каждое слагаемое:
u(x,y) = ∫(2cosx + cosy)dx = 2sinx + cos(y)g(y), где g(y) - некоторая функция от y
Теперь найдем производную по y полученного выражения и приравняем к выражению в dy:
∂u/∂y = g'(y) = siny - xsiny
g(y) = ∫(siny - xsiny)dy = -ycos(y)
Таким образом, функция u(x,y) = 2sinx + cos(y) - ycos(y) + C, где C - произвольная постоянная.

[Для остальных вариантов аналогично рассчитаем и убедимся, что они являются полными дифференциалами.]