Геометрия Задание номер 25 ОГЭ Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 10, а площадь равна 12,5√3

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем катеты прямоугольного треугольника.

Площадь прямоугольного треугольника равна ( \frac{1}{2} \times \text{катет}_1 \times \text{катет}_2 ).

( 12,5\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times a \times b ),

( a \times b = 25\sqrt{3} ).

Так как гипотенуза равна 10, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора:

( a^2 + b^2 = 10^2 ),

( a^2 + b^2 = 100 ).

Решим систему уравнений:

(\begin{cases}
a \times b = 25\sqrt{3} \
a^2 + b^2 = 100
\end{cases}).

Рассмотрим это с другой стороны:
( a^2 \times b^2 = 625 \times 3 = 1875 ).

Извлекаем корень из последнего выражения:
( a \times b = \sqrt{1875} = 25\sqrt{3} ).

Сравниваем два выражения для ( a \times b ) и получаем, что:

( a^2 = b^2 = 25 ),

( a = b = 5 ).

Теперь находим острые углы прямоугольного треугольника при помощи тригонометрических функций.

( \sin(\alpha) = \frac{5}{10} = 0.5 ).

( \alpha = \arcsin(0.5) = 30^\circ ).

( \sin(\beta) = \frac{5}{10} = 0.5 ),

( \beta = \arcsin(0.5) = 30^\circ ).

Таким образом, острые углы прямоугольного треугольника равны 30 градусов каждый.