Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник В прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С вписана окружность радиуса 2 см. Известно, что сумма катетов равна 17 см. Найдите АВ.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим катеты треугольника ABC за a и b. Так как сумма катетов равна 17 см, то a + b = 17.

Также, из свойств прямоугольного треугольника, мы знаем, что гипотенуза равна сумме катетов умноженная на √2. То есть в нашем случае, AB = a + b + 2√2.

Заметим, что радиус окружности является высотой треугольника, опущенной на гипотенузу. Поэтому площадь треугольника ABC также можно выразить через катеты: S = (a*b)/2 = 2a + 2b.

Тогда мы можем составить систему уравнений:
a + b = 17
2a + 2b = S
a*b = 17

Из первого уравнения находим, что a = 17 - b.

Подставляем это значение во второе уравнение:
2(17 - b) + 2b = S
34 - 2b + 2b = S
34 = S

Теперь находим катеты, используя решение системы уравнений:

a = 17 - b = 17 - 2 = 15
b = 2

Теперь можем найти гипотенузу:
AB = a + b + 2√2 = 15 + 2 + 2√2 = 17 + 2√2

Итак, длина стороны AB равна 17 + 2√2 см.