Интеграл. Вычислить объём тела вращения вокруг оси y фигур, которые ограничены линиями: x = y^2; x = 1.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для вычисления объема тела вращения вокруг оси y необходимо воспользоваться формулой для объема тела вращения:

V = π ∫[a, b] f(x)^2 dx,

где a и b - пределы интегрирования, f(x) - функция, ограничивающая фигуру.

В данном случае у нас есть ограничения x = y^2 и x = 1. Таким образом, пределы интегрирования будут от 0 до 1 (от y=0 до y=1).

Теперь нужно найти функцию f(x). Из условия видно, что фигура ограничена линиями y = √x и y = 1. Таким образом, f(x) = 1 - √x.

Подставляем все в формулу:

V = π ∫[0,1] (1 - √x)^2 dx.

Вычисляем интеграл:

V = π ∫[0,1] (1 - 2√x + x) dx = π[x - 2/3x^(3/2) + 1/3x^2] |[0,1] = π[1 - 2/3 + 1/3] = π.

Таким образом, объем тела вращения вокруг оси y фигур, ограниченных линиями x = y^2 и x = 1, равен π.