Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника равна 13 см, а один

из катетов – 24 см. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть AB и AC - катеты, а BC - гипотенуза прямоугольного треугольника ABC. Пусть M - середина гипотенузы BC, тогда AM - медиана, проведенная к гипотенузе. По условию AM = 13 см.
Пусть радиус вписанной окружности треугольника ABC равен r, тогда BM = MC = r.
Из AM = 13 см и BM = r следует, что ABM - прямоугольный треугольник с гипотенузой AM и катетом BM. Применим теорему Пифагора:
AM^2 = AB^2 + BM^2
13^2 = AB^2 + r^2
169 = AB^2 + r^2

Также известно, что квадрат катета AC равен сумме квадратов катета AB и гипотенузы BC:
AC^2 = AB^2 + BC^2
24^2 = AB^2 + (2r)^2
576 = AB^2 + 4r^2

Выразим AB^2 из первого уравнения и подставим во второе уравнение:
576 = (169 - r^2) + 4r^2
576 = 169 + 3r^2
3r^2 = 407
r^2 = 407/3
r = sqrt(407/3) ≈ 10.3 см

Ответ: радиус вписанной окружности треугольника ABC составляет приблизительно 10.3 см.