Найти массу дуги линии L: x=2t,y=3t,(0≤t≤2) если плотность линии γ=x.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения массы дуги линии L необходимо вычислить интеграл от плотности линии γ=x по длине дуги.

Длина дуги можно найти по формуле длины кривой в параметрической форме:
L = ∫(sqrt(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2) dt

dx/dt = 2, dy/dt = 3
L = ∫(sqrt(2)^2 + 3^2) dt = ∫(sqrt(13)) dt = tsqrt(13) | от 0 до 2 = 2sqrt(13) - 0 = 2*sqrt(13)

Теперь найдем массу дуги линии L:
m = ∫(γ) ds = ∫(x) sqrt((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2) dt = ∫(2t) sqrt(13) dt = 2sqrt(13)(t^2/2) | от 0 до 2 = 2sqrt(13)2^2/2 = 8*sqrt(13)

Итак, масса дуги линии L равна 8*sqrt(13).