Задача по геометрии на сечение и объем. В правильной треугольной пирамиде SABC через сторону АВ проведено сечение наименьшей возможной площади. Боковое ребро пирамиды равно 3, а отношение площади сечения к площади основания пирамиды равно 1 делить на корень из 3 . Найдите объем пирамиды, если боковое ребро пирамиды SA равно 3.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для сечения через АВ рассмотрим точку Р его пересечения с SC. Площадь сечения линейно зависит от РН - перпендикуляра к АВ. Но так как пирамида правильная, то Н середина АВ. Чтобы сечение было наименьшим, РН должно быть перпендикулярно SC. Но тогда в треугольнике НРС отношение НР к НС равно 1/sqrt3. Отсюда sin(HCP) = 1/sqrt3. Теперь, если О - проекция S на АВС, то СО = СS * cos(HCP) = sqrt(6). Тогда СН = 3/2 СО = 3 sqrt(3/2). Из формулы для правильного треугольника h = a sqrt3 /2 находим AB = sqrt2 и площадь основания 1/2 sqrt2 * 3 sqrt(3/2) = 3 sqrt3 /2. Осталось найти высоту пирамиды SO = SC * sin(HCP) = sqrt3. Объем равен 1/3 * 3 sqrt3 /2 * sqrt3 = 3/2 = 1.5